Enunciado com quantificadores aninhados em LaTeX (\forall x \exists y : P(x, y))

Onde é usado

Uma sentença com quantificadores aninhados: para todo x existe algum y que torna P(x, y) verdadeiro, podendo y depender de x.

Esse padrão está por trás das definições épsilon-delta e de enunciados como “todo inteiro tem um sucessor”. Trocar a ordem para \exists y \forall x produz uma afirmação muito mais forte, a de que um único y serve para todo x, e confundir as duas é um erro clássico em demonstrações. Os dois-pontos separam o prefixo de quantificadores da matriz da fórmula; se a sua convenção para os dois-pontos conflitar com a notação de funções em outro lugar, use um ponto ou colchetes. Para facilitar a leitura de prefixos mais longos, acrescente \, entre os blocos de quantificadores, ou escreva cada um numa expressão própria: para todo x existe y.

Exemplo mínimo compilável

Cole isto em um arquivo .tex vazio e compile com pdfLaTeX, XeLaTeX ou LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
Quantified Statement: $\forall x \exists y : P(x, y)$

\[ \forall x \in \mathbb{Z}\; \exists y \in \mathbb{Z} : y = x + 1 \]
\end{document}

Símbolos relacionados

• Notação de conjunto por compreensão\{ x \mid P(x) \}
• Dois-pontos de “tal que”:
• Barra condicional\mid
• Quantificador existencial limitado\exists x \in A
• Quantificador universal limitado\forall x \in A
• Quantificador existencial sobre x\exists x

Perguntas frequentes

Como escrever Enunciado com quantificadores aninhados em LaTeX?

Digite \forall x \exists y : P(x, y) no modo matemático, por exemplo $\forall x \in \mathbb{Z}\; \exists y \in \mathbb{Z} : y = x + 1$. Funciona no LaTeX padrão sem carregar nenhum pacote.

Qual pacote é necessário para \forall x \exists y : P(x, y)?

Nenhum. \forall x \exists y : P(x, y) faz parte do LaTeX padrão, então compila só com a classe do documento no preâmbulo.

Posso usar \forall x \exists y : P(x, y) no modo texto ou só no modo matemático?

Só no modo matemático. Fora de $...$ o LaTeX para com "Missing $ inserted", então no texto escreva $\forall x \exists y : P(x, y)$.