LaTeX 中的KKT 条件（\nabla f + \lambda \nabla g = 0）

用途

KKT 条件组中的平稳性条件：目标函数的梯度与加权后的约束梯度相互平衡。

这一行是卡罗需-库恩-塔克（KKT）条件中的第一条；完整的条件组还包括原始可行性 g(x) \leq 0、对偶可行性 \lambda \geq 0 以及互补松弛条件 \lambda g(x) = 0。约束有多个时，它推广为 \nabla f(x^*) + \sum_i \lambda_i \nabla g_i(x^*) + \sum_j \nu_j \nabla h_j(x^*) = 0。为便于阅读，请用 cases 或 aligned 环境排版整个条件组。符号约定各不相同：若拉格朗日函数写作 f - \lambda g，加号就要变成减号，因此请与你的定义保持一致。明确写出在 x^* 处取值可以避免歧义。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
KKT Conditions: $\nabla f + \lambda \nabla g = 0$

\[ \nabla f + \lambda \nabla g = 0, \quad \lambda \geq 0, \quad \lambda g(x) = 0 \]
\end{document}

相关符号

• 花体 C（范畴）\mathcal{C}
• 希腊字母 μ（mu）\mu
• 正定性\succ 0
• 函数记号f(x)
• 半正定性\succeq 0
• 可行集\mathcal{X}

常见问题

如何在 LaTeX 中输入KKT 条件？

在数学模式中输入 \nabla f + \lambda \nabla g = 0，例如 $\nabla f + \lambda \nabla g = 0, \quad \lambda \geq 0, \quad \lambda g(x) = 0$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

\nabla f + \lambda \nabla g = 0 需要哪个宏包？

不需要。\nabla f + \lambda \nabla g = 0 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

\nabla f + \lambda \nabla g = 0 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $\nabla f + \lambda \nabla g = 0$。