LaTeX 中的内积（\langle x, y \rangle）

用途

两个向量两侧的尖括号，表示它们的内积。

内积推广了点积：在 R^n 中 \langle x, y \rangle = \sum_i x_i y_i，柯西–施瓦茨不等式 |\langle x, y \rangle| \le \lVert x \rVert \lVert y \rVert 是经典例子。切勿用小于号和大于号代替；< 和 > 是关系符，间距很宽，角度也不对。参数较大时，用 \left\langle ... \right\rangle 让括号自动缩放。在量子力学中，同样的尖括号用于构成狄拉克符号 \langle \psi | \phi \rangle，中间带一条竖线。有些书把同一个量写作 (x, y) 或 x \cdot y。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
Inner Product: $\langle x, y \rangle$

\[ |\langle x, y \rangle| \leq \lVert x \rVert \, \lVert y \rVert \]
\end{document}

相关符号

• 张量积符号\otimes
• 范数\| x \|
• 直和符号\oplus
• 范数\lVert x \rVert
• 点乘号\cdot
• 秩\text{rank}(A)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入内积？

在数学模式中输入 \langle x, y \rangle，例如 $|\langle x, y \rangle| \leq \lVert x \rVert \, \lVert y \rVert$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

\langle x, y \rangle 需要哪个宏包？

不需要。\langle x, y \rangle 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

\langle x, y \rangle 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $\langle x, y \rangle$。