LaTeX 中的上确界（\sup）

用途

上确界：集合的最小上界，是实数完备性和范数定义的核心概念。

算子范数写作 \|A\| = \sup_{\|x\| = 1} \|Ax\|，函数的一致范数为 \sup_x |f(x)|。该命令与 \lim 一样，在行间公式中把下标放在下方，在行内公式中放在右侧。表示上极限请使用 \limsup，而不要手动组合 \lim 和 \sup；还要记住，实数的每个有上界的非空子集都有 \sup，而 \max 则不一定存在。当下标条件较长时，请用 \substack{...} 在运算符下方分行堆叠，而不要挤成一个很宽的下标。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Supremum: $\sup$

\[ \|f\|_\infty = \sup_{x \in X} |f(x)| \]
\end{document}

相关符号

• 最小上界\text{lub}
• 下确界\inf
• 最大下界\text{glb}
• 最大值\max
• 最小值\min
• 不大于等于号\ngeq

常见问题

如何在 LaTeX 中输入上确界？

在数学模式中输入 \sup，例如 $\|f\|_\infty = \sup_{x \in X} |f(x)|$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

\sup 需要哪个宏包？

不需要。\sup 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

\sup 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $\sup$。