LaTeX 中的拉普拉斯算子（\nabla^2）

用途

拉普拉斯算子，即各二阶偏导数之和；它衡量函数值与其局部平均值的差异。

拉普拉斯方程 \nabla^2 \phi = 0、泊松方程 \nabla^2 \phi = -\rho/\varepsilon_0、热传导方程和波动方程都会用到它。物理学家偏爱 \nabla^2，它提示该算子是梯度的散度；数学家则常写作 \Delta，但这可能与表示有限差分或变化量的 \Delta 冲突。在笛卡儿坐标系中 \nabla^2 f = f_{xx} + f_{yy} + f_{zz}，但在曲线坐标系中会出现额外的项。对向量场使用向量拉普拉斯算子时，请把作用对象加粗，以表明含义不同。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Laplacian: $\nabla^2$

\[ \nabla^2 \phi = \phi_{xx} + \phi_{yy} + \phi_{zz} = 0 \]
\end{document}

相关符号

• 达朗贝尔算子\Box
• Nabla 算子\nabla
• 花体 L（拉格朗日量）\mathcal{L}
• 大写希腊字母 Δ（Delta）\Delta
• 花体 H（哈密顿量）\mathcal{H}
• 狄拉克括号（内积）\langle \phi | \psi \rangle

常见问题

如何在 LaTeX 中输入拉普拉斯算子？

在数学模式中输入 \nabla^2，例如 $\nabla^2 \phi = \phi_{xx} + \phi_{yy} + \phi_{zz} = 0$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

\nabla^2 需要哪个宏包？

不需要。\nabla^2 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

\nabla^2 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $\nabla^2$。