Parallelverschiebung in LaTeX (P_{\gamma})

Verwendung

Parallelverschiebung entlang der Kurve \gamma: die lineare Abbildung, die Vektoren zwischen Tangentialräumen bewegt, ohne sie zu drehen.

Sie ist eine Abbildung P_\gamma: T_{\gamma(0)}M \to T_{\gamma(1)}M und für einen metrikverträglichen Zusammenhang eine Isometrie. Die Verschiebung entlang geschlossener Schleifen erzeugt die Holonomiegruppe, deren Nichttrivialität Krümmung widerspiegelt. Manche Texte schreiben \tau_\gamma, \Pi_\gamma oder P^\gamma_{t \leftarrow s}, um die Endpunkte festzuhalten. Bei einem einbuchstabigen Index sind die geschweiften Klammern in P_{\gamma} optional, behalten Sie sie aber, wenn der Index wächst, wie in P_{\gamma|[0,t]}. Ein Vektorfeld V ist parallel entlang \gamma, wenn \nabla_{\dot\gamma} V = 0, und P_\gamma bildet V(0) auf V(1) ab. Entlang einer kleinen Schleife unterscheidet sich die Verschiebung von der Identität um einen Term proportional zur Krümmung.

Minimales kompilierbares Beispiel

Fügen Sie dies in eine leere .tex-Datei ein und kompilieren Sie mit pdfLaTeX, XeLaTeX oder LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\begin{document}
Parallel Transport: $P_{\gamma}$

\[ P_{\gamma}\colon T_{\gamma(0)}M \to T_{\gamma(1)}M \]
\end{document}

Verwandte Symbole

• Geodäte\gamma(t)
• Krümmungsform\Omega^i_j
• Zusammenhangsform\omega^i_j
• Stern\star
• Lie-Klammer[X, Y]
• Lie-Ableitung\mathcal{L}_X

Häufige Fragen

Wie schreibe ich Parallelverschiebung in LaTeX?

Schreiben Sie P_{\gamma} im Mathematikmodus, zum Beispiel $P_{\gamma}\colon T_{\gamma(0)}M \to T_{\gamma(1)}M$. Es funktioniert in Standard-LaTeX, ohne ein Paket zu laden.

Welches Paket brauche ich für P_{\gamma}?

Keines. P_{\gamma} gehört zum Standardumfang von LaTeX und kompiliert ohne weitere Angaben in der Präambel außer der Dokumentklasse.

Kann ich P_{\gamma} im Textmodus verwenden oder nur im Mathematikmodus?

Nur im Mathematikmodus. Außerhalb von $...$ bricht LaTeX mit "Missing $ inserted" ab, schreiben Sie im Fließtext also $P_{\gamma}$.