Dérivée covariante en LaTeX (\nabla_i)

Où il est utilisé

Dérivée covariante selon la i-ème direction coordonnée, le remplaçant tensoriel de la dérivée partielle \partial_i.

Sur un vecteur, elle ajoute une correction faisant intervenir les symboles de Christoffel, \nabla_i v^j = \partial_i v^j + \Gamma^j_{ik} v^k, et sur un covecteur le signe s’inverse, \nabla_i w_j = \partial_i w_j - \Gamma^k_{ij} w_k. La notation traditionnelle avec point-virgule écrit v^j{}_{;i} pour la même chose. La compatibilité avec la métrique signifie \nabla_k g_{ij} = 0, de sorte que l’on peut monter et descendre les indices à travers \nabla. En général, les dérivées covariantes ne commutent pas ; leur commutateur appliqué à un vecteur donne le tenseur de Riemann. Les textes de relativité écrivent le même opérateur \nabla_\mu.

Exemple minimal compilable

Collez-le dans un fichier .tex vide et compilez avec pdfLaTeX, XeLaTeX ou LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\begin{document}
Covariant Derivative: $\nabla_i$

\[ \nabla_i v^j = \partial_i v^j + \Gamma^j_{ik}\, v^k \]
\end{document}

Symboles associés

• SymétrisationT_{(ij)}
• Dérivée partielle\partial_i
• AntisymétrisationT_{[ij]}
• Élévation d’indicev^i = g^{ij} v_j
• Type d’un tenseur(p, q)
• Abaissement d’indicev_i = g_{ij} v^j

Questions fréquentes

Comment écrire Dérivée covariante en LaTeX ?

Tapez \nabla_i en mode mathématique, par exemple $\nabla_i v^j = \partial_i v^j + \Gamma^j_{ik}\, v^k$. La commande fonctionne en LaTeX standard sans charger de paquet.

Quel paquet faut-il pour \nabla_i ?

Aucun. \nabla_i fait partie de LaTeX standard : le préambule n’a besoin que de la classe de document.

Peut-on utiliser \nabla_i en mode texte, ou seulement en mode mathématique ?

Seulement en mode mathématique. Hors de $...$, LaTeX s’arrête avec "Missing $ inserted" : dans le texte, écrivez $\nabla_i$.