Élévation d’indice en LaTeX (v^i = g^{ij} v_j)

Où il est utilisé

Élévation d’indice : la métrique inverse reconvertit les composantes covariantes v_j en composantes contravariantes v^i.

L’élévation est l’isomorphisme musical dièse, \alpha^\sharp, et c’est ainsi que l’on construit le vecteur gradient à partir de la différentielle : (\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\partial_j f. Élever puis abaisser redonne les composantes d’origine, car g^{ij} g_{jk} = \delta^i_k. En relativité, p^\mu = g^{\mu\nu} p_\nu convertit le covecteur quadri-impulsion en vecteur. Écrivez la métrique inverse avec des indices supérieurs, jamais g^{-1}_{ij}, qui suggère une mauvaise position des indices. La commande \sharp donne le signe dièse correspondant, et pour une métrique diagonale seul le terme j = i subsiste.

Exemple minimal compilable

Collez-le dans un fichier .tex vide et compilez avec pdfLaTeX, XeLaTeX ou LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
Metric Raising: $v^i = g^{ij} v_j$

\[ (\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\, \partial_j f \]
\end{document}

Symboles associés

• Dérivée partielle\partial_i
• Abaissement d’indicev_i = g_{ij} v^j
• Dérivée covariante\nabla_i
• ContractionT^i_i
• SymétrisationT_{(ij)}
• Produit tensorielA \otimes B

Questions fréquentes

Comment écrire Élévation d’indice en LaTeX ?

Tapez v^i = g^{ij} v_j en mode mathématique, par exemple $(\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\, \partial_j f$. La commande fonctionne en LaTeX standard sans charger de paquet.

Quel paquet faut-il pour v^i = g^{ij} v_j ?

Aucun. v^i = g^{ij} v_j fait partie de LaTeX standard : le préambule n’a besoin que de la classe de document.

Peut-on utiliser v^i = g^{ij} v_j en mode texte, ou seulement en mode mathématique ?

Seulement en mode mathématique. Hors de $...$, LaTeX s’arrête avec "Missing $ inserted" : dans le texte, écrivez $v^i = g^{ij} v_j$.