Không gian đối tiếp xúc trong LaTeX (T^*_p M)

Dùng ở đâu

Không gian đối tiếp xúc tại p: không gian đối ngẫu của T_p M, gồm các phiếm hàm tuyến tính (đối vectơ) trên các vectơ tiếp xúc tại p.

Các phần tử của T^*_p M là đối vectơ, chẳng hạn vi phân df_p, và các vi phân tọa độ dx^i tạo thành cơ sở đối ngẫu với \partial/\partial x^i. Đặt dấu sao trước hay sau chỉ số dưới (T^*_p M so với T_p^* M) cho cùng một kết quả, vì TeX xếp chồng chỉ số trên và chỉ số dưới bất kể thứ tự. Dùng ^* thay cho ^{\ast} chỉ để viết ngắn gọn; cả hai cho cùng một dấu sao. Mêtric đồng nhất T_p M với T^*_p M bằng cách hạ chỉ số, đó là cách gradient trở thành đối vectơ.

Ví dụ tối giản biên dịch được

Dán đoạn này vào một tệp .tex trống rồi biên dịch bằng pdfLaTeX, XeLaTeX hoặc LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\begin{document}
Cotangent Space: $T^*_p M$

\[ df_p \in T^*_p M,\quad df_p = \partial_i f\, dx^i \]
\end{document}

Ký hiệu liên quan

• Phân thớ tiếp xúcTM
• Không gian tiếp xúcT_p M
• Phân thớ đối tiếp xúcT^*M
• Đa tạp\mathcal{M}
• Đạo hàm hiệp biến\nabla_X Y
• Ký hiệu Christoffel\Gamma^k_{ij}

Câu hỏi thường gặp

Làm thế nào để viết Không gian đối tiếp xúc trong LaTeX?

Gõ T^*_p M trong chế độ toán, ví dụ $df_p \in T^*_p M,\quad df_p = \partial_i f\, dx^i$. Lệnh dùng được trong LaTeX chuẩn mà không cần nạp gói nào.

Cần gói nào để dùng T^*_p M?

Không cần gói nào. T^*_p M thuộc LaTeX chuẩn, nên chỉ cần lớp tài liệu trong phần mở đầu là biên dịch được.

Có thể dùng T^*_p M trong chế độ văn bản không, hay chỉ trong chế độ toán?

Chỉ trong chế độ toán. Bên ngoài $...$ LaTeX sẽ dừng với lỗi "Missing $ inserted", vì vậy trong văn bản hãy viết $T^*_p M$.