Mệnh đề có lượng từ lồng nhau trong LaTeX (\forall x \exists y : P(x, y))

Dùng ở đâu

Một câu có lượng từ lồng nhau: với mọi x tồn tại y làm P(x, y) đúng, trong đó y được phép phụ thuộc vào x.

Mẫu này là nền tảng của các định nghĩa epsilon-delta và của những khẳng định như “mọi số nguyên đều có số liền sau”. Đổi thứ tự thành \exists y \forall x cho ra một khẳng định mạnh hơn nhiều, một y duy nhất dùng được cho mọi x, và nhầm lẫn hai dạng này là lỗi kinh điển trong chứng minh. Dấu hai chấm tách phần tiền tố lượng từ khỏi công thức chính; nếu quy ước dấu hai chấm xung đột với ký hiệu hàm ở chỗ khác, hãy dùng dấu chấm hoặc dấu ngoặc. Để dễ đọc với tiền tố dài, thêm \, giữa các khối lượng từ, hoặc viết từng khối thành cụm từ: với mọi x tồn tại y.

Ví dụ tối giản biên dịch được

Dán đoạn này vào một tệp .tex trống rồi biên dịch bằng pdfLaTeX, XeLaTeX hoặc LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
Quantified Statement: $\forall x \exists y : P(x, y)$

\[ \forall x \in \mathbb{Z}\; \exists y \in \mathbb{Z} : y = x + 1 \]
\end{document}

Ký hiệu liên quan

• Ký hiệu tập hợp theo tính chất\{ x \mid P(x) \}
• Dấu hai chấm “sao cho”:
• Dấu gạch đứng điều kiện\mid
• Lượng từ tồn tại trên tập hợp\exists x \in A
• Lượng từ với mọi trên tập hợp\forall x \in A
• Lượng từ tồn tại x\exists x

Câu hỏi thường gặp

Làm thế nào để viết Mệnh đề có lượng từ lồng nhau trong LaTeX?

Gõ \forall x \exists y : P(x, y) trong chế độ toán, ví dụ $\forall x \in \mathbb{Z}\; \exists y \in \mathbb{Z} : y = x + 1$. Lệnh dùng được trong LaTeX chuẩn mà không cần nạp gói nào.

Cần gói nào để dùng \forall x \exists y : P(x, y)?

Không cần gói nào. \forall x \exists y : P(x, y) thuộc LaTeX chuẩn, nên chỉ cần lớp tài liệu trong phần mở đầu là biên dịch được.

Có thể dùng \forall x \exists y : P(x, y) trong chế độ văn bản không, hay chỉ trong chế độ toán?

Chỉ trong chế độ toán. Bên ngoài $...$ LaTeX sẽ dừng với lỗi "Missing $ inserted", vì vậy trong văn bản hãy viết $\forall x \exists y : P(x, y)$.