Đạo hàm hiệp biến trong LaTeX (\nabla_i)

Dùng ở đâu

Đạo hàm hiệp biến theo hướng tọa độ thứ i, phiên bản mang tính tenxơ thay cho đạo hàm riêng \partial_i.

Trên một vectơ, nó thêm số hạng hiệu chỉnh Christoffel, \nabla_i v^j = \partial_i v^j + \Gamma^j_{ik} v^k, còn trên một đối vectơ thì dấu đổi ngược, \nabla_i w_j = \partial_i w_j - \Gamma^k_{ij} w_k. Ký hiệu dấu chấm phẩy truyền thống viết v^j{}_{;i} cho cùng đại lượng đó. Tính tương thích với metric nghĩa là \nabla_k g_{ij} = 0, nên có thể nâng và hạ chỉ số qua \nabla. Các đạo hàm hiệp biến nói chung không giao hoán; giao hoán tử của chúng trên một vectơ cho ra tenxơ Riemann. Các sách về thuyết tương đối viết cùng toán tử này là \nabla_\mu.

Ví dụ tối giản biên dịch được

Dán đoạn này vào một tệp .tex trống rồi biên dịch bằng pdfLaTeX, XeLaTeX hoặc LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\begin{document}
Covariant Derivative: $\nabla_i$

\[ \nabla_i v^j = \partial_i v^j + \Gamma^j_{ik}\, v^k \]
\end{document}

Ký hiệu liên quan

• Phép đối xứng hóaT_{(ij)}
• Đạo hàm riêng\partial_i
• Phép phản đối xứng hóaT_{[ij]}
• Nâng chỉ số bằng metricv^i = g^{ij} v_j
• Loại và hạng của tenxơ(p, q)
• Hạ chỉ số bằng metricv_i = g_{ij} v^j

Câu hỏi thường gặp

Làm thế nào để viết Đạo hàm hiệp biến trong LaTeX?

Gõ \nabla_i trong chế độ toán, ví dụ $\nabla_i v^j = \partial_i v^j + \Gamma^j_{ik}\, v^k$. Lệnh dùng được trong LaTeX chuẩn mà không cần nạp gói nào.

Cần gói nào để dùng \nabla_i?

Không cần gói nào. \nabla_i thuộc LaTeX chuẩn, nên chỉ cần lớp tài liệu trong phần mở đầu là biên dịch được.

Có thể dùng \nabla_i trong chế độ văn bản không, hay chỉ trong chế độ toán?

Chỉ trong chế độ toán. Bên ngoài $...$ LaTeX sẽ dừng với lỗi "Missing $ inserted", vì vậy trong văn bản hãy viết $\nabla_i$.