Nâng chỉ số bằng metric trong LaTeX (v^i = g^{ij} v_j)

Dùng ở đâu

Phép nâng chỉ số: metric nghịch đảo đưa các thành phần hiệp biến v_j trở lại thành các thành phần phản biến v^i.

Nâng chỉ số là đẳng cấu âm nhạc thăng, \alpha^\sharp, và đó là cách dựng vectơ gradient từ vi phân: (\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\partial_j f. Nâng rồi hạ chỉ số trả lại các thành phần ban đầu vì g^{ij} g_{jk} = \delta^i_k. Trong thuyết tương đối, p^\mu = g^{\mu\nu} p_\nu chuyển đối vectơ bốn-động lượng thành vectơ. Hãy viết metric nghịch đảo với chỉ số trên, không bao giờ viết g^{-1}_{ij}, vì cách viết đó gợi ý sai vị trí chỉ số. Lệnh \sharp cho dấu thăng tương ứng, và với metric chéo thì chỉ còn lại số hạng j = i.

Ví dụ tối giản biên dịch được

Dán đoạn này vào một tệp .tex trống rồi biên dịch bằng pdfLaTeX, XeLaTeX hoặc LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
Metric Raising: $v^i = g^{ij} v_j$

\[ (\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\, \partial_j f \]
\end{document}

Ký hiệu liên quan

• Đạo hàm riêng\partial_i
• Hạ chỉ số bằng metricv_i = g_{ij} v^j
• Đạo hàm hiệp biến\nabla_i
• Phép co tenxơT^i_i
• Phép đối xứng hóaT_{(ij)}
• Tích tenxơA \otimes B

Câu hỏi thường gặp

Làm thế nào để viết Nâng chỉ số bằng metric trong LaTeX?

Gõ v^i = g^{ij} v_j trong chế độ toán, ví dụ $(\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\, \partial_j f$. Lệnh dùng được trong LaTeX chuẩn mà không cần nạp gói nào.

Cần gói nào để dùng v^i = g^{ij} v_j?

Không cần gói nào. v^i = g^{ij} v_j thuộc LaTeX chuẩn, nên chỉ cần lớp tài liệu trong phần mở đầu là biên dịch được.

Có thể dùng v^i = g^{ij} v_j trong chế độ văn bản không, hay chỉ trong chế độ toán?

Chỉ trong chế độ toán. Bên ngoài $...$ LaTeX sẽ dừng với lỗi "Missing $ inserted", vì vậy trong văn bản hãy viết $v^i = g^{ij} v_j$.