Hạ chỉ số bằng metric trong LaTeX (v_i = g_{ij} v^j)

Dùng ở đâu

Phép hạ chỉ số: metric chuyển các thành phần phản biến v^j của một vectơ thành các thành phần hiệp biến v_i.

Đây là đẳng cấu âm nhạc giáng, thường viết v^\flat, đồng nhất vectơ với đối vectơ. Trong không gian Euclid với tọa độ Descartes, g_{ij} = \delta_{ij}, nên việc hạ chỉ số không làm thay đổi giá trị số; trong không gian Minkowski với dấu (-,+,+,+), nó đổi dấu thành phần thời gian. Chỉ số tự do i phải khớp ở hai vế, còn j được lấy tổng. Với một tenxơ đầy đủ, hạ từng chỉ số riêng rẽ, T_{ij} = g_{ik} T^k{}_j, và chú ý thứ tự các vị trí. Lệnh \flat dùng trong v^\flat là dấu giáng trong âm nhạc, có sẵn trong chế độ toán tiêu chuẩn.

Ví dụ tối giản biên dịch được

Dán đoạn này vào một tệp .tex trống rồi biên dịch bằng pdfLaTeX, XeLaTeX hoặc LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\begin{document}
Metric Lowering: $v_i = g_{ij} v^j$

\[ v_i = g_{ij} v^j,\quad v^\flat = v_i\, dx^i \]
\end{document}

Ký hiệu liên quan

• Nâng chỉ số bằng metricv^i = g^{ij} v_j
• Phép co tenxơT^i_i
• Đạo hàm riêng\partial_i
• Tích tenxơA \otimes B
• Đạo hàm hiệp biến\nabla_i
• Quy ước tổng EinsteinA^i B_i

Câu hỏi thường gặp

Làm thế nào để viết Hạ chỉ số bằng metric trong LaTeX?

Gõ v_i = g_{ij} v^j trong chế độ toán, ví dụ $v_i = g_{ij} v^j,\quad v^\flat = v_i\, dx^i$. Lệnh dùng được trong LaTeX chuẩn mà không cần nạp gói nào.

Cần gói nào để dùng v_i = g_{ij} v^j?

Không cần gói nào. v_i = g_{ij} v^j thuộc LaTeX chuẩn, nên chỉ cần lớp tài liệu trong phần mở đầu là biên dịch được.

Có thể dùng v_i = g_{ij} v^j trong chế độ văn bản không, hay chỉ trong chế độ toán?

Chỉ trong chế độ toán. Bên ngoài $...$ LaTeX sẽ dừng với lỗi "Missing $ inserted", vì vậy trong văn bản hãy viết $v_i = g_{ij} v^j$.