LaTeX 中的错排数（D_n）

用途

错排数 D_n：n 个元素的排列中没有任何元素留在原位的排列数。

D_n 计数没有不动点的排列，开头为 1, 0, 1, 2, 9, 44, 265。由容斥原理得 D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}，因此 D_n 是最接近 n!/e 的整数，随机排列为错排的概率趋于 1/e。递推关系包括 D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})。经典的故事是寄存帽子问题。同一个数也写作 !n，即子阶乘；在正文中 D_n 更易阅读。注意在代数中 D_n 也表示二面体群，两者同时出现时请加以说明。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Derangement: $D_n$

\[ D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \]
\end{document}

相关符号

• 双阶乘n!!
• 整数分拆函数p(n)
• 子阶乘!n
• 斐波那契数F_n
• 波赫哈默尔符号(a)_n
• 圈C_n

常见问题

如何在 LaTeX 中输入错排数？

在数学模式中输入 D_n，例如 $D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

D_n 需要哪个宏包？

不需要。D_n 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

D_n 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $D_n$。