LaTeX 中的子阶乘（!n）

用途

n 的子阶乘，用前置感叹号表示 n 个对象的错排数。

!n 等于 D_n，即没有不动点的排列数：!4 = 9，且对 n \geq 1 有 !n = \left\lfloor n!/e + 1/2 \right\rfloor。前置感叹号虽然简洁，但容易误读，尤其是跟在变量之后时，m!n 看起来像 m 的阶乘乘以 n。改写为 D_n 或加上明确的括号可以避免这一问题。在 TeX 中感叹号属于闭符号类，因此在 = 这样的二元关系符之后排版时不会有额外间距，这正符合需要。有些作者使用倒感叹号，即 n\text{¡}，但这种记法很少见。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Subfactorial: $!n$

\[ !n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}, \quad !4 = 9 \]
\end{document}

相关符号

• 波赫哈默尔符号(a)_n
• 双阶乘n!!
• 基数符号|A|
• 错排数D_n
• 整数分拆函数p(n)
• 斐波那契数F_n

常见问题

如何在 LaTeX 中输入子阶乘？

在数学模式中输入 !n，例如 $!n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}, \quad !4 = 9$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

!n 需要哪个宏包？

不需要。!n 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

!n 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

两者皆可。!n 在正文和 $...$ 中都能编译；在公式中请保持数学模式，以获得数学字体和间距。