LaTeX 中的整数分拆函数（p(n)）

用途

分拆函数 p(n)：把 n 写成若干正整数之和（不计顺序）的方法数。

例如 p(4) = 5，因为 4 = 3+1 = 2+2 = 2+1+1 = 1+1+1+1。欧拉的生成函数为 \sum_n p(n) x^n = \prod_{k \geq 1} \frac{1}{1 - x^k}，哈代与拉马努金给出了渐近式 p(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt{3}} e^{\pi\sqrt{2n/3}}。拉马努金同余式包括 p(5k+4) \equiv 0 \pmod 5。小写 p 与概率密度记法以及素数记号冲突，因此在混合语境中请先定义。受限版本写作 p_k(n) 或 p(n, k)，表示分成至多 k 个部分的分拆数。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Partition: $p(n)$

\[ \sum_{n \geq 0} p(n)\, x^n = \prod_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^k} \]
\end{document}

相关符号

• 错排数D_n
• 斐波那契数F_n
• 双阶乘n!!
• 圈C_n
• 子阶乘!n
• 贝尔数B_n

常见问题

如何在 LaTeX 中输入整数分拆函数？

在数学模式中输入 p(n)，例如 $\sum_{n \geq 0} p(n)\, x^n = \prod_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^k}$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

p(n) 需要哪个宏包？

不需要。p(n) 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

p(n) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

两者皆可。p(n) 在正文和 $...$ 中都能编译；在公式中请保持数学模式，以获得数学字体和间距。