LaTeX 中的下降阶乘（(n)_k）

用途

组合学记法中的下降阶乘：n(n-1)...(n-k+1)，即 k 个递减因子的乘积。

(n)_k 计数从 k 元集到 n 元集的单射个数，对整数而言等于 n!/(n-k)!。注意：这种 波赫哈默尔式记法有歧义，因为在特殊函数中 (a)_n 表示上升阶乘。高德纳的记法用 n^{\underline{k}} 表示下降阶乘、n^{\overline{k}} 表示上升阶乘，消除了歧义，并用于《具体数学》（Concrete Mathematics）；在指数中用 \underline 和 \overline 输入。下降阶乘可通过斯特林数与普通幂互相转换：x^n = \sum_k S(n,k)(x)_k。请在论文中明确定义所用记法。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Falling Factorial: $(n)_k$

\[ (n)_k = n(n-1)\cdots(n-k+1) = n^{\underline{k}} \]
\end{document}

相关符号

• 上升阶乘n^{(k)}
• 多项式系数\binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m}
• 第一类斯特林数\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{k}
• 排列数（nPr）P(n, k)
• 第二类斯特林数\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n}{k}
• 组合数（nCr）C(n, k)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入下降阶乘？

在数学模式中输入 (n)_k，例如 $(n)_k = n(n-1)\cdots(n-k+1) = n^{\underline{k}}$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

(n)_k 需要哪个宏包？

不需要。(n)_k 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

(n)_k 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $(n)_k$。