LaTeX 中的复数幂（z^w）

用途

复数 z 的 w 次幂，定义为 exp(w log z)，一般是多值的。

令人惊讶的事实 i^i = e^{-\pi/2}（取主支）就来自这一定义。由于 \log z 是多值的，除非 w 是整数，否则 z^w 有多个值，(z^a)^b = z^{ab} 这类法则也可能不成立。多于一个记号的指数要加花括号：写 z^{w+1}，而不是 z^w+1。对于 z^{w^v} 这样的幂塔，TeX 会逐层缩小，因此可考虑用 \exp 记法提高可读性。依赖某个特定值时，请明确说明所取的分支，例如写成 \exp(w \operatorname{Log} z)。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Complex Power: $z^w$

\[ z^w = e^{w \log z}, \quad i^i = e^{-\pi/2} \]
\end{document}

相关符号

• 单位圆|z| = 1
• 复对数\log z
• 上半平面\mathbb{H}
• 复指数函数e^{z}
• 复数集\mathbb{C}
• 欧拉公式e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

常见问题

如何在 LaTeX 中输入复数幂？

在数学模式中输入 z^w，例如 $z^w = e^{w \log z}, \quad i^i = e^{-\pi/2}$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

z^w 需要哪个宏包？

不需要。z^w 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

z^w 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $z^w$。