LaTeX 中的欧拉公式（e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta）

用途

欧拉公式，把复指数与余弦和正弦联系起来；它把 e^{iθ} 放在单位圆上。

令 \theta = \pi 即得欧拉恒等式 e^{i\pi} + 1 = 0，从公式中解出余弦则得 \cos\theta = (e^{i\theta} + e^{-i\theta})/2。注意 \cos 和 \sin 是运算符命令：它们以直立体输出，并在 \theta 前加细空格，而直接输入 cos 会得到三个斜体字母。像 \theta 这样的单个符号参数不需要括号，但复合参数要加括号，如 \sin(2\theta)。在工程语境中，同一恒等式用 j 代替 i 书写。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Euler's Formula: $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

\[ e^{i\pi} + 1 = 0 \]
\end{document}

相关符号

• 复指数函数e^{z}
• 复数的极坐标形式r e^{i\theta}
• 复对数\log z
• 辐角主值\text{Arg}(z)
• 复数幂z^w
• 辐角\arg(z)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入欧拉公式？

在数学模式中输入 e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta，例如 $e^{i\pi} + 1 = 0$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta 需要哪个宏包？

不需要。e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$。