LaTeX 中的余切空间（T^*_p M）

用途

p 处的余切空间：T_p M 的对偶空间，由 p 处切向量上的线性泛函（余向量）构成。

T^*_p M 的元素是余向量，如微分 df_p，坐标微分 dx^i 构成与 \partial/\partial x^i 对偶的基。星号放在下标之前或之后（T^*_p M 与 T_p^* M）输出相同，因为无论顺序如何，TeX 都会把上标和下标上下堆叠。用 ^* 而不用 ^{\ast} 只是为了简洁；两者给出相同的星号。度量通过降指标把 T_p M 与 T^*_p M 等同起来，梯度正是由此变成余向量的。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Cotangent Space: $T^*_p M$

\[ df_p \in T^*_p M,\quad df_p = \partial_i f\, dx^i \]
\end{document}

相关符号

• 切丛TM
• 切空间T_p M
• 余切丛T^*M
• 流形\mathcal{M}
• 协变导数\nabla_X Y
• 克里斯托费尔符号\Gamma^k_{ij}

常见问题

如何在 LaTeX 中输入余切空间？

在数学模式中输入 T^*_p M，例如 $df_p \in T^*_p M,\quad df_p = \partial_i f\, dx^i$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

T^*_p M 需要哪个宏包？

不需要。T^*_p M 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

T^*_p M 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $T^*_p M$。