LaTeX 中的协变导数（\nabla_X Y）

用途

向量场 Y 沿方向 X 的协变导数，由仿射联络 \nabla 定义。

仿射联络关于 X 是函数线性的，并满足莱布尼茨法则 \nabla_X(fY) = (Xf)Y + f\nabla_X Y。列维-奇维塔联络是唯一与度量相容的无挠联络，它给出 \nabla_X Y - \nabla_Y X = [X, Y]。在坐标下它化为 \nabla_i Y^k = \partial_i Y^k + \Gamma^k_{ij} Y^j。作为下标的方向以小字号排出；对于 \nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma 这样较长的表达式，请把下标放进花括号，使上方的点保持附着。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Covariant Derivative: $\nabla_X Y$

\[ \nabla_X Y - \nabla_Y X = [X, Y] \]
\end{document}

相关符号

• 克里斯托费尔符号\Gamma^k_{ij}
• 余切丛T^*M
• 黎曼曲率张量R^l_{ijk}
• 切丛TM
• 里奇张量R_{ij}
• 余切空间T^*_p M

常见问题

如何在 LaTeX 中输入协变导数？

在数学模式中输入 \nabla_X Y，例如 $\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X, Y]$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

\nabla_X Y 需要哪个宏包？

不需要。\nabla_X Y 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

\nabla_X Y 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $\nabla_X Y$。