LaTeX 中的平行移动（P_{\gamma}）

用途

沿曲线 \gamma 的平行移动：在切空间之间移动向量而不使其转动的线性映射。

它是映射 P_\gamma: T_{\gamma(0)}M \to T_{\gamma(1)}M，对于与度量相容的联络，它是等距映射。沿闭路的平行移动生成和乐群，和乐群非平凡反映了曲率的存在。有些教材写作 \tau_\gamma、\Pi_\gamma 或 P^\gamma_{t \leftarrow s}，以记录端点。对单字母下标，P_{\gamma} 中的花括号可以省略，但下标变长时请保留，如 P_{\gamma|[0,t]}。当 \nabla_{\dot\gamma} V = 0 时，称向量场 V 沿 \gamma 平行，P_\gamma 把 V(0) 送到 V(1)。沿小闭路平行移动的结果与恒等映射相差一个与曲率成正比的项。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Parallel Transport: $P_{\gamma}$

\[ P_{\gamma}\colon T_{\gamma(0)}M \to T_{\gamma(1)}M \]
\end{document}

相关符号

• 测地线\gamma(t)
• 曲率形式\Omega^i_j
• 联络形式\omega^i_j
• 星号运算符\star
• 李括号[X, Y]
• 李导数\mathcal{L}_X

常见问题

如何在 LaTeX 中输入平行移动？

在数学模式中输入 P_{\gamma}，例如 $P_{\gamma}\colon T_{\gamma(0)}M \to T_{\gamma(1)}M$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

P_{\gamma} 需要哪个宏包？

不需要。P_{\gamma} 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

P_{\gamma} 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $P_{\gamma}$。