LaTeX 中的最优反应（BR_i(s_{-i})）

用途

最优反应对应：在其他人的策略 s_{-i} 给定时，使参与人 i 收益最大化的策略集合。

其定义为 BR_i(s_{-i}) = \arg\max_{s_i \in S_i} u_i(s_i, s_{-i})，一个策略组合是纳什均衡，当且仅当对所有 i 都有 s_i^* \in BR_i(s^*_{-i})。它一般是集值的，这正是证明混合均衡存在性要用角谷不动点定理而不是布劳威尔不动点定理的原因。直接输入 BR_i 时，TeX 会把 B 和 R 排成两个相乘的意大利体变量；请写成 \mathrm{BR}_i 或 \operatorname{BR}_i 以得到直立字母。最大值点请用 \operatorname*{arg\,max}。在有限博弈中，纯策略最优反应总是存在。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
Best Response: $BR_i(s_{-i})$

\[ \mathrm{BR}_i(s_{-i}) = \operatorname*{arg\,max}_{s_i \in S_i} u_i(s_i, s_{-i}) \]
\end{document}

相关符号

• 纳什均衡s^* = (s_1^*, \ldots, s_n^*)
• 期望收益\mathbb{E}[u_i]
• 混合策略\sigma_i
• 收益函数u_i(s)
• 概率单纯形\Delta(S_i)
• 策略组合s = (s_1, \ldots, s_n)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入最优反应？

在数学模式中输入 BR_i(s_{-i})，例如 $\mathrm{BR}_i(s_{-i}) = \operatorname*{arg\,max}_{s_i \in S_i} u_i(s_i, s_{-i})$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

BR_i(s_{-i}) 需要哪个宏包？

不需要。BR_i(s_{-i}) 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

BR_i(s_{-i}) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $BR_i(s_{-i})$。