LaTeX 中的纳什均衡（s^* = (s_1^*, \ldots, s_n^*)）

用途

纳什均衡策略组合：任何参与人都无法通过单方面偏离其策略 s_i^* 而获益。

定义条件是：对每个参与人 i 和每个替代策略 s_i，都有 u_i(s_i^*, s_{-i}^*) \ge u_i(s_i, s_{-i}^*)。纳什证明了每个有限博弈都存在混合策略均衡，记作 \sigma^*。均衡未必唯一，也未必有效率，囚徒困境就说明了这一点。星号是上标，因此 s_1^* 和 s^*_1 渲染结果相同；请用 ^* 而不是 ^\star，后者是五角星。在双矩阵博弈中，纯策略均衡是这样一个格子：在对方选择给定时，每个参与人的收益都是最大的。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Nash Equilibrium: $s^* = (s_1^*, \ldots, s_n^*)$

\[ u_i(s_i^*, s_{-i}^*) \geq u_i(s_i, s_{-i}^*) \quad \forall s_i \in S_i \]
\end{document}

相关符号

• 混合策略\sigma_i
• 最优反应BR_i(s_{-i})
• 概率单纯形\Delta(S_i)
• 期望收益\mathbb{E}[u_i]
• 占优策略s_i^d
• 收益函数u_i(s)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入纳什均衡？

在数学模式中输入 s^* = (s_1^*, \ldots, s_n^*)，例如 $u_i(s_i^*, s_{-i}^*) \geq u_i(s_i, s_{-i}^*) \quad \forall s_i \in S_i$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

s^* = (s_1^*, \ldots, s_n^*) 需要哪个宏包？

不需要。s^* = (s_1^*, \ldots, s_n^*) 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

s^* = (s_1^*, \ldots, s_n^*) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $s^* = (s_1^*, \ldots, s_n^*)$。