LaTeX 中的极小极大（\min_j \max_i）

用途

极小极大算子：对 j 最小化关于 i 的最大值，即最小化一方能够保证的最坏情形值。

在行参与人收益为 a_{ij} 的零和矩阵博弈中，\min_j \max_i a_{ij} 是列参与人能保证的值，\max_i \min_j a_{ij} 是行参与人能保证的值；后者永远不超过前者。冯·诺伊曼的极小极大定理指出，在混合策略下两者相等。在行间样式中下标位于算子下方；在行内则作为下标出现在侧面，如果希望在正文中也放在下方，请加 \limits。若想在两个算子之间留出更多空间，可插入 \,，或写成 \min_{j}\,\max_{i}。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Minimax: $\min_j \max_i$

\[ \max_i \min_j a_{ij} \leq \min_j \max_i a_{ij} \]
\end{document}

相关符号

• 零和条件u_1 + u_2 = 0
• 帕累托最优s^{PO}
• 合作博弈特征函数v(S)
• 劣策略s_i \prec s'_i
• 沙普利值\phi_i(v)
• 占优策略s_i^d

常见问题

如何在 LaTeX 中输入极小极大？

在数学模式中输入 \min_j \max_i，例如 $\max_i \min_j a_{ij} \leq \min_j \max_i a_{ij}$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

\min_j \max_i 需要哪个宏包？

不需要。\min_j \max_i 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

\min_j \max_i 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $\min_j \max_i$。