LaTeX 中的默比乌斯函数（\mu(n)）

用途

默比乌斯函数：若 n 被某个素数的平方整除则为 0，否则对 k 个素因子取 (-1)^k。

它的主要作用是默比乌斯反演：若 g(n) = \sum_{d \mid n} f(d)，则 f(n) = \sum_{d \mid n} \mu(d)\, g(n/d)。它还满足当 n > 1 时 \sum_{d \mid n} \mu(d) = 0，其狄利克雷级数是 zeta 函数的倒数，\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n \ge 1} \frac{\mu(n)}{n^s}。字母 \mu 含义繁多，在统计中表示均值，在分析中表示测度，因此要明确引入。在数学模式中请使用希腊字母 \mu，切勿用外形相似的拉丁字母 u 代替。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Mobius Function: $\mu(n)$

\[ \frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s} \]
\end{document}

相关符号

• 因数个数函数d(n)
• 因数和函数\sigma(n)
• 小数部分\{x\}
• 整数部分[x]
• 上取整函数\lceil x \rceil
• 下取整函数\lfloor x \rfloor

常见问题

如何在 LaTeX 中输入默比乌斯函数？

在数学模式中输入 \mu(n)，例如 $\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

\mu(n) 需要哪个宏包？

不需要。\mu(n) 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

\mu(n) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $\mu(n)$。