LaTeX 中的拉格朗日函数（\mathcal{L}(x, \lambda)）

用途

拉格朗日函数，把目标函数与按乘子 λ 加权的约束条件结合在一起。

拉格朗日函数为 \mathcal{L}(x, \lambda, \nu) = f(x) + \sum_i \lambda_i g_i(x) + \sum_j \nu_j h_j(x)，对偶函数是它关于 x 的下确界。令 \nabla_x \mathcal{L} = 0 即得到平稳性条件，这在带约束的微积分问题和支持向量机推导中都会用到。\mathcal 给出花体 L，并且只适用于大写字母。由于同一个 \mathcal{L} 在机器学习中也表示损失函数，同时涉及两者的论文有时会把其中一个写成 L 或 \Lambda。有些教材采用相反的符号约定 f - \lambda g，因此请说明你采用的约定。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Lagrangian: $\mathcal{L}(x, \lambda)$

\[ \mathcal{L}(x, \lambda) = f(x) + \sum_{i=1}^{m} \lambda_i g_i(x) \]
\end{document}

相关符号

• 希腊字母 λ（lambda）\lambda
• 等式约束h(x) = 0
• 梯度\nabla f(x)
• 不等式约束g(x) \leq 0
• 黑塞矩阵\nabla^2 f(x)
• 约束条件缩写 s.t.\text{s.t.}

常见问题

如何在 LaTeX 中输入拉格朗日函数？

在数学模式中输入 \mathcal{L}(x, \lambda)，例如 $\mathcal{L}(x, \lambda) = f(x) + \sum_{i=1}^{m} \lambda_i g_i(x)$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

\mathcal{L}(x, \lambda) 需要哪个宏包？

不需要。\mathcal{L}(x, \lambda) 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

\mathcal{L}(x, \lambda) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $\mathcal{L}(x, \lambda)$。