LaTeX 中的第一类贝塞尔函数（J_n(x)）

用途

n 阶第一类贝塞尔函数，即贝塞尔方程在原点处有限的解。

J_n 满足 x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2) y = 0，其级数为 \sum_m \frac{(-1)^m}{m!\,\Gamma(m+n+1)} (x/2)^{2m+n}。它描述鼓膜振动、圆柱波导以及圆孔衍射，其中艾里斑涉及 J_1。对于非整数阶，按惯例用 \nu 写作 J_\nu(x)。其生成函数为 e^{(x/2)(t - 1/t)} = \sum_n J_n(x) t^n。复合阶数需要加花括号，如 J_{n+1}(x)。它的零点常记为 j_{n,k}，决定圆形薄膜的共振频率。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
Bessel J: $J_n(x)$

\[ x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2) y = 0 \implies y = c_1 J_n(x) + c_2 Y_n(x) \]
\end{document}

相关符号

• 第二类贝塞尔函数Y_n(x)
• 互补误差函数\text{erfc}(x)
• 第一类修正贝塞尔函数I_n(x)
• 误差函数\text{erf}(x)
• 第二类修正贝塞尔函数K_n(x)
• 黎曼 ζ 函数\zeta(s)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入第一类贝塞尔函数？

在数学模式中输入 J_n(x)，例如 $x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2) y = 0 \implies y = c_1 J_n(x) + c_2 Y_n(x)$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

J_n(x) 需要哪个宏包？

不需要。J_n(x) 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

J_n(x) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $J_n(x)$。