LaTeX 中的黎曼 ζ 函数（\zeta(s)）

用途

黎曼 ζ 函数，在 Re s > 1 时由 1/n^s 的级数之和定义，并延拓到整个复平面。

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s} 通过欧拉乘积 \prod_p (1 - p^{-s})^{-1} 将分析与素数联系起来。著名的取值包括 \zeta(2) = \pi^2/6（巴塞尔问题），以及经解析延拓得到的 \zeta(-1) = -1/12。黎曼猜想断言非平凡零点都位于 \operatorname{Re} s = 1/2 上。请使用 \zeta；它在手写时可能像 \xi，但印刷体中两者截然不同。按惯例变量写作 s = \sigma + it。赫尔维茨 ζ 函数记为 \zeta(s, a)，而在物理学中 \zeta 常出现在玻色–爱因斯坦积分中。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Riemann zeta function: $\zeta(s)$

\[ \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1 - p^{-s}} \]
\end{document}

相关符号

• 误差函数\text{erf}(x)
• 贝塔函数B(x, y)
• 互补误差函数\text{erfc}(x)
• 伽马函数\Gamma(z)
• 第一类贝塞尔函数J_n(x)
• 第二类贝塞尔函数Y_n(x)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入黎曼 ζ 函数？

在数学模式中输入 \zeta(s)，例如 $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p} \frac{1}{1 - p^{-s}}$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

\zeta(s) 需要哪个宏包？

不需要。\zeta(s) 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

\zeta(s) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $\zeta(s)$。