LaTeX 中的互补误差函数（\text{erfc}(x)）

用途

互补误差函数 1 - erf(x)：高斯函数从 x 到无穷大的尾部积分乘以归一化系数。

\text{erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^\infty e^{-t^2}\,dt = 1 - \text{erf}(x)，在表示很小的尾部概率时应优先使用它，因为当 x 较大时直接计算 1 - \text{erf}(x) 会损失数值精度。它在通信中给出误码率 Q(x) = \frac{1}{2}\text{erfc}(x/\sqrt{2})，在传热学中给出扩散分布。缩放形式 \text{erfcx}(x) = e^{x^2}\text{erfc}(x) 可避免下溢。与 erf 一样，\operatorname{erfc} 在斜体环境中仍保持直立并自动处理间距，因此更为稳妥。当 x 很大时，它近似为 e^{-x^2}/(x\sqrt{\pi})。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
Complementary Error: $\text{erfc}(x)$

\[ Q(x) = \frac{1}{2}\,\text{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) \]
\end{document}

相关符号

• 第一类贝塞尔函数J_n(x)
• 误差函数\text{erf}(x)
• 第二类贝塞尔函数Y_n(x)
• 黎曼 ζ 函数\zeta(s)
• 第一类修正贝塞尔函数I_n(x)
• 贝塔函数B(x, y)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入互补误差函数？

在数学模式中输入 \text{erfc}(x)，例如 $Q(x) = \frac{1}{2}\,\text{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)$。请先用 \usepackage{amsmath} 加载 amsmath。

\text{erfc}(x) 需要哪个宏包？

\text{erfc}(x) 需要 amsmath：在文档开始前把 \usepackage{amsmath} 加入导言区。

\text{erfc}(x) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

两者皆可。\text{erfc}(x) 在正文和 $...$ 中都能编译；在公式中请保持数学模式，以获得数学字体和间距。