LaTeX 中的误差函数（\text{erf}(x)）

用途

误差函数：高斯函数 e^{-t^2} 从 0 到 x 的积分乘以归一化系数，用于计算正态分布概率。

其定义为 \text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2}\,dt，在 \pm\infty 处的极限为 \pm 1。标准正态分布函数为 \Phi(x) = \frac{1}{2}\big[1 + \text{erf}(x/\sqrt{2})\big]，erf 也给出阶跃初始条件下热方程的解。\text{erf} 显示为直立体，但它会跟随周围的字体，因此在定理环境中会变成斜体；\operatorname{erf} 或在导言区使用 \DeclareMathOperator 更加稳妥，还能加上恰当的间距。它是奇函数：\text{erf}(-x) = -\text{erf}(x)。其反函数为 \text{erf}^{-1}，用于计算正态分布的分位数。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
Error Function: $\text{erf}(x)$

\[ \Phi(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right] \]
\end{document}

相关符号

• 互补误差函数\text{erfc}(x)
• 黎曼 ζ 函数\zeta(s)
• 第一类贝塞尔函数J_n(x)
• 贝塔函数B(x, y)
• 第二类贝塞尔函数Y_n(x)
• 伽马函数\Gamma(z)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入误差函数？

在数学模式中输入 \text{erf}(x)，例如 $\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[1 + \text{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$。请先用 \usepackage{amsmath} 加载 amsmath。

\text{erf}(x) 需要哪个宏包？

\text{erf}(x) 需要 amsmath：在文档开始前把 \usepackage{amsmath} 加入导言区。

\text{erf}(x) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

两者皆可。\text{erf}(x) 在正文和 $...$ 中都能编译；在公式中请保持数学模式，以获得数学字体和间距。