LaTeX 中的第二类完全椭圆积分（E(k)）

用途

第二类完全椭圆积分，即 sqrt(1 - k^2 sin^2 θ) 在四分之一周期上的积分。

E(k) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\,d\theta，E(0) = \pi/2，E(1) = 1。半长轴为 a、离心率为 e 的椭圆周长为 4a\,E(e)，没有初等闭式。勒让德关系将它与 K 联系起来：E K' + E' K - K K' = \pi/2，其中撇号表示补模。与 K 一样，要检查文献使用的是模 k 还是参数 m = k^2。单独的字母 E 会与能量、期望和边集冲突，因此请尽早给出定义。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Elliptic Integral E: $E(k)$

\[ E(k) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\, d\theta \]
\end{document}

相关符号

• 狄拉克 δ 函数\delta(x)
• 第一类完全椭圆积分K(k)
• 亥维赛阶跃函数H(x)
• 多伽马函数\psi^{(n)}(x)
• 双伽马函数\psi(x)
• 超几何函数{}_2F_1(a,b;c;z)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入第二类完全椭圆积分？

在数学模式中输入 E(k)，例如 $E(k) = \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}\, d\theta$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

E(k) 需要哪个宏包？

不需要。E(k) 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

E(k) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

两者皆可。E(k) 在正文和 $...$ 中都能编译；在公式中请保持数学模式，以获得数学字体和间距。