LaTeX 中的第一类完全椭圆积分（K(k)）

用途

第一类完全椭圆积分，即 1/sqrt(1 - k^2 sin^2 θ) 在四分之一周期上的积分。

K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}，K(0) = \pi/2，且当 k \to 1 时呈对数发散。它给出单摆的精确周期 T = 4\sqrt{L/g}\,K(\sin(\theta_0/2))。最大的陷阱是自变量的约定：有些教材和软件使用参数 m = k^2，写作 K(m)，所以 K(0.5) 可能表示两个不同的数。请说明使用的是模 k 还是参数 m。不完全形式为 F(\phi, k)。算术–几何平均给出一个快速公式：K(k) = \frac{\pi}{2\,\mathrm{AGM}(1, \sqrt{1-k^2})}。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Elliptic Integral K: $K(k)$

\[ K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}} \]
\end{document}

相关符号

• 第二类完全椭圆积分E(k)
• 多伽马函数\psi^{(n)}(x)
• 狄拉克 δ 函数\delta(x)
• 双伽马函数\psi(x)
• 亥维赛阶跃函数H(x)
• 超几何函数{}_2F_1(a,b;c;z)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入第一类完全椭圆积分？

在数学模式中输入 K(k)，例如 $K(k) = \int_0^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2\theta}}$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

K(k) 需要哪个宏包？

不需要。K(k) 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

K(k) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

两者皆可。K(k) 在正文和 $...$ 中都能编译；在公式中请保持数学模式，以获得数学字体和间距。