LaTeX 中的多伽马函数（\psi^{(n)}(x)）

用途

n 阶多伽马函数：ln Gamma(x) 的 n+1 阶导数，即双伽马函数的 n 阶导数。

\psi^{(n)}(x) = \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \ln \Gamma(x)，其中 \psi^{(0)} = \psi 为双伽马函数，\psi^{(1)} 为三伽马函数。重要取值：\psi^{(1)}(1) = \pi^2/6，一般地 \psi^{(n)}(1) = (-1)^{n+1} n!\,\zeta(n+1)。三伽马函数给出伽马模型和狄利克雷模型的费希尔信息与方差项。带括号的上标表示求导阶数而非幂次；只写 ^n 会被理解为乘方。(n) 外必须加花括号，才能让整个组作为上标。许多作者直接把三伽马函数写作 \psi'(x)，这同样是标准写法。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Polygamma: $\psi^{(n)}(x)$

\[ \psi^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}\, n!\, \zeta(n+1) \]
\end{document}

相关符号

• 第一类完全椭圆积分K(k)
• 双伽马函数\psi(x)
• 第二类完全椭圆积分E(k)
• 超几何函数{}_2F_1(a,b;c;z)
• 狄拉克 δ 函数\delta(x)
• 第二类切比雪夫多项式U_n(x)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入多伽马函数？

在数学模式中输入 \psi^{(n)}(x)，例如 $\psi^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}\, n!\, \zeta(n+1)$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

\psi^{(n)}(x) 需要哪个宏包？

不需要。\psi^{(n)}(x) 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

\psi^{(n)}(x) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $\psi^{(n)}(x)$。