LaTeX 中的超几何函数（{}_2F_1(a,b;c;z)）

用途

高斯超几何函数：关于 z 的幂级数，其系数由 a、b、c 的波赫哈默尔符号构成。

它定义为 {}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n \geq 0} \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!}（|z| < 1），可特化为许多初等函数和特殊函数，例如 \ln(1+z) = z\,{}_2F_1(1,1;2;-z)。空组 {} 为左下标 2 提供了依附对象，这是书写前置下标的标准技巧；\prescript 命令则提供更精细的控制。分号用于分隔分子参数、分母参数和自变量。一般形式 {}_pF_q 遵循同样的模式，高斯定理给出它在 z = 1 处的值。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Hypergeometric: ${}_2F_1(a,b;c;z)$

\[ {}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!} \]
\end{document}

相关符号

• 双伽马函数\psi(x)
• 第二类切比雪夫多项式U_n(x)
• 多伽马函数\psi^{(n)}(x)
• 第一类切比雪夫多项式T_n(x)
• 第一类完全椭圆积分K(k)
• 拉盖尔多项式L_n(x)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入超几何函数？

在数学模式中输入 {}_2F_1(a,b;c;z)，例如 ${}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n (b)_n}{(c)_n} \frac{z^n}{n!}$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

{}_2F_1(a,b;c;z) 需要哪个宏包？

不需要。{}_2F_1(a,b;c;z) 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

{}_2F_1(a,b;c;z) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 ${}_2F_1(a,b;c;z)$。