LaTeX 中的拉盖尔多项式（L_n(x)）

用途

n 次拉盖尔多项式，在 [0, ∞) 上关于权函数 e^{-x} 正交。

拉盖尔多项式满足罗德里格斯公式 L_n(x) = \frac{e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n}(e^{-x} x^n)，从 L_0 = 1 和 L_1 = 1 - x 开始，并满足方程 x y'' + (1 - x) y' + n y = 0。广义形式 L_n^{(\alpha)}(x)（上标带括号）给出氢原子的径向波函数。较早的物理教材使用另一种归一化，相差一个因子 n!，因此混用公式前请核对来源。它们还用于定义带权 e^{-x} 积分的高斯–拉盖尔求积。注意不要与拉格朗日量或损失函数 L 混淆。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Laguerre Polynomial: $L_n(x)$

\[ L_n(x) = \frac{e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right) \]
\end{document}

相关符号

• 第一类切比雪夫多项式T_n(x)
• 埃尔米特多项式H_n(x)
• 第二类切比雪夫多项式U_n(x)
• 第二类勒让德函数Q_n(x)
• 超几何函数{}_2F_1(a,b;c;z)
• 勒让德多项式P_n(x)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入拉盖尔多项式？

在数学模式中输入 L_n(x)，例如 $L_n(x) = \frac{e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x} x^n\right)$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

L_n(x) 需要哪个宏包？

不需要。L_n(x) 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

L_n(x) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $L_n(x)$。