LaTeX 中的第二类勒让德函数（Q_n(x)）

用途

第二类勒让德函数，勒让德方程的第二个解，在 x = 1 和 -1 处奇异。

Q_n 与 P_n 满足同一个方程 (1 - x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0，但它不是多项式：例如 Q_0(x) = \frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}，Q_1(x) = x Q_0(x) - 1。由于在 \pm 1 处有对数奇点，在整个球面上的问题中通常舍去它，只有当区域不含两极时才保留，例如圆锥或长椭球外部区域。连带形式写作 Q_n^m(x)。对数请用 \ln 搭配 \frac 书写，若自变量较高则使用 \left( \right)。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Legendre Q: $Q_n(x)$

\[ Q_0(x) = \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}, \quad |x| < 1 \]
\end{document}

相关符号

• 埃尔米特多项式H_n(x)
• 勒让德多项式P_n(x)
• 拉盖尔多项式L_n(x)
• 第二类修正贝塞尔函数K_n(x)
• 第一类切比雪夫多项式T_n(x)
• 第一类修正贝塞尔函数I_n(x)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入第二类勒让德函数？

在数学模式中输入 Q_n(x)，例如 $Q_0(x) = \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}, \quad |x| < 1$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

Q_n(x) 需要哪个宏包？

不需要。Q_n(x) 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

Q_n(x) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $Q_n(x)$。