LaTeX 中的勒让德多项式（P_n(x)）

用途

n 次勒让德多项式，在 [-1, 1] 上关于权函数 1 正交。

勒让德多项式从 P_0 = 1、P_1 = x、P_2 = \frac{1}{2}(3x^2 - 1) 开始，满足罗德里格斯公式 P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n。正交关系为 \int_{-1}^1 P_m P_n\,dx = \frac{2}{2n+1}\delta_{mn}。它们出现在多极展开、球谐函数以及高斯–勒让德求积的节点中。连带勒让德函数写作 P_n^m(x) 或 P_\ell^m(\cos\theta)。物理学家常用 \ell 表示次数。不要与路径图 P_n 或概率 P 混淆；自变量 x 通常表明这是多项式。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Legendre P: $P_n(x)$

\[ \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\, dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn} \]
\end{document}

相关符号

• 第二类勒让德函数Q_n(x)
• 第二类修正贝塞尔函数K_n(x)
• 埃尔米特多项式H_n(x)
• 第一类修正贝塞尔函数I_n(x)
• 拉盖尔多项式L_n(x)
• 第二类贝塞尔函数Y_n(x)

常见问题

如何在 LaTeX 中输入勒让德多项式？

在数学模式中输入 P_n(x)，例如 $\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\, dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn}$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

P_n(x) 需要哪个宏包？

不需要。P_n(x) 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

P_n(x) 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $P_n(x)$。