LaTeX 中的协变导数（\nabla_i）

用途

沿第 i 个坐标方向的协变导数，是偏导数 \partial_i 的张量化替代。

作用于向量时它加上一个克里斯托费尔修正项，\nabla_i v^j = \partial_i v^j + \Gamma^j_{ik} v^k，作用于余向量时符号相反，\nabla_i w_j = \partial_i w_j - \Gamma^k_{ij} w_k。传统的分号记法把同一个量写成 v^j{}_{;i}。度规相容性意味着 \nabla_k g_{ij} = 0，因此可以在 \nabla 内外自由升降指标。协变导数一般不可交换；它们作用于向量的对易子给出黎曼张量。相对论教材把同一个算子写作 \nabla_\mu。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Covariant Derivative: $\nabla_i$

\[ \nabla_i v^j = \partial_i v^j + \Gamma^j_{ik}\, v^k \]
\end{document}

相关符号

• 对称化T_{(ij)}
• 偏导数\partial_i
• 反对称化T_{[ij]}
• 用度规升指标v^i = g^{ij} v_j
• 张量的型(p, q)
• 用度规降指标v_i = g_{ij} v^j

常见问题

如何在 LaTeX 中输入协变导数？

在数学模式中输入 \nabla_i，例如 $\nabla_i v^j = \partial_i v^j + \Gamma^j_{ik}\, v^k$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

\nabla_i 需要哪个宏包？

不需要。\nabla_i 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

\nabla_i 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $\nabla_i$。