LaTeX 中的用度规降指标（v_i = g_{ij} v^j）

用途

降指标：度规把向量的逆变分量 v^j 转换为协变分量 v_i。

这就是降号音乐同构，常写作 v^\flat，它把向量与余向量等同起来。在使用笛卡儿坐标的欧几里得空间中 g_{ij} = \delta_{ij}，因此降指标在数值上不改变任何东西；在符号差为 (-,+,+,+) 的闵可夫斯基空间中，它会改变时间分量的符号。自由指标 i 在两边必须一致，而 j 被求和。对完整的张量，要逐个降低每个指标，T_{ij} = g_{ik} T^k{}_j，并注意槽位顺序。v^\flat 中使用的 \flat 命令是音乐中的降号，在标准数学模式下即可使用。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Metric Lowering: $v_i = g_{ij} v^j$

\[ v_i = g_{ij} v^j,\quad v^\flat = v_i\, dx^i \]
\end{document}

相关符号

• 用度规升指标v^i = g^{ij} v_j
• 张量缩并T^i_i
• 偏导数\partial_i
• 张量积A \otimes B
• 协变导数\nabla_i
• 爱因斯坦求和约定A^i B_i

常见问题

如何在 LaTeX 中输入用度规降指标？

在数学模式中输入 v_i = g_{ij} v^j，例如 $v_i = g_{ij} v^j,\quad v^\flat = v_i\, dx^i$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

v_i = g_{ij} v^j 需要哪个宏包？

不需要。v_i = g_{ij} v^j 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

v_i = g_{ij} v^j 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $v_i = g_{ij} v^j$。