LaTeX 中的用度规升指标（v^i = g^{ij} v_j）

用途

升指标：逆度规把协变分量 v_j 变回逆变分量 v^i。

升指标是升号音乐同构 \alpha^\sharp，梯度向量就是这样由微分构造出来的：(\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\partial_j f。先升后降会回到原来的分量，因为 g^{ij} g_{jk} = \delta^i_k。在相对论中，p^\mu = g^{\mu\nu} p_\nu 把四维动量余向量转换为向量。逆度规要用上指标书写，绝不要写成 g^{-1}_{ij}，那样会暗示错误的指标位置。\sharp 命令给出相应的升号；对于对角度规，只有 j = i 的项保留下来。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
Metric Raising: $v^i = g^{ij} v_j$

\[ (\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\, \partial_j f \]
\end{document}

相关符号

• 偏导数\partial_i
• 用度规降指标v_i = g_{ij} v^j
• 协变导数\nabla_i
• 张量缩并T^i_i
• 对称化T_{(ij)}
• 张量积A \otimes B

常见问题

如何在 LaTeX 中输入用度规升指标？

在数学模式中输入 v^i = g^{ij} v_j，例如 $(\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\, \partial_j f$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

v^i = g^{ij} v_j 需要哪个宏包？

不需要。v^i = g^{ij} v_j 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

v^i = g^{ij} v_j 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $v^i = g^{ij} v_j$。