LaTeX 中的协变指标（T_{ij}）

用途

带两个下指标的张量，即二阶协变张量，例如度规、应力张量或双线性形式。

下指标按逆雅可比矩阵变换，T'_{ij} = \frac{\partial x^k}{\partial x'^i}\frac{\partial x^l}{\partial x'^j} T_{kl}，与梯度的变换规则相同。例子包括度规 g_{ij}、里奇张量 R_{ij} 和柯西应力 \sigma_{ij}。二阶协变张量作用于两个向量得到一个数，T_{ij} u^i v^j。在使用笛卡儿坐标的欧几里得空间中，上下指标的区别消失，这就是工程教材常把所有指标都写在下方的原因。任何这样的张量都可以分解为对称部分和反对称部分，T_{ij} = T_{(ij)} + T_{[ij]}。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\usepackage{amssymb}
\begin{document}
Covariant Index: $T_{ij}$

\[ T_{ij}\, u^i v^j \in \mathbb{R} \]
\end{document}

相关符号

• 逆变指标T^{ij}
• 张量T^{ij}_{kl}
• 混合张量T^i_j
• 克罗内克 δ\delta^i_j
• 列维-奇维塔符号\epsilon_{ijk}
• 爱因斯坦求和约定A^i B_i

常见问题

如何在 LaTeX 中输入协变指标？

在数学模式中输入 T_{ij}，例如 $T_{ij}\, u^i v^j \in \mathbb{R}$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

T_{ij} 需要哪个宏包？

不需要。T_{ij} 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

T_{ij} 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $T_{ij}$。