LaTeX 中的混合张量（T^i_j）

用途

(1,1) 型混合张量，带一个上指标和一个下指标，等价于向量上的线性映射。

(1,1) 张量把向量 v^j 映为 T^i_j v^j，因此在一组基下它就是一个矩阵，其迹 T^i_i 与坐标无关。写成 T^i_j 时两个指标上下竖直对齐，这对克罗内克 δ 没问题，但在其他情况下会产生歧义，因为用度规降指标后 T^i{}_j 与 T_j{}^i 并不相同。空组 {} 的技巧可以让指标错开。用度规降低上指标得到 (0,2) 张量，T_{kj} = g_{ki} T^i{}_j，错开的写法能显示是哪个槽位移动了。

最小可编译示例

将其粘贴到空白 .tex 文件中，用 pdfLaTeX、XeLaTeX 或 LuaLaTeX 编译。

\documentclass{article}
\begin{document}
Mixed Tensor: $T^i_j$

\[ w^i = T^i{}_j\, v^j \]
\end{document}

相关符号

• 克罗内克 δ\delta^i_j
• 逆变指标T^{ij}
• 列维-奇维塔符号\epsilon_{ijk}
• 协变指标T_{ij}
• 爱因斯坦求和约定A^i B_i
• 张量T^{ij}_{kl}

常见问题

如何在 LaTeX 中输入混合张量？

在数学模式中输入 T^i_j，例如 $w^i = T^i{}_j\, v^j$。无需加载任何宏包即可在标准 LaTeX 中使用。

T^i_j 需要哪个宏包？

不需要。T^i_j 是标准 LaTeX 的一部分，导言区只需文档类即可编译。

T^i_j 能在文本模式中使用，还是只能用于数学模式？

只能用于数学模式。在 $...$ 之外，LaTeX 会报错 "Missing $ inserted"，所以在正文中请写 $T^i_j$。