Indexsenkung mit der Metrik in LaTeX (v_i = g_{ij} v^j)

Verwendung

Senken eines Index: Die Metrik wandelt die kontravarianten Komponenten v^j eines Vektors in kovariante Komponenten v_i um.

Das ist der musikalische Isomorphismus „Be“, oft als v^\flat geschrieben, der Vektoren mit Kovektoren identifiziert. Im euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten gilt g_{ij} = \delta_{ij}, das Senken ändert zahlenmäßig also nichts; im Minkowski-Raum mit der Signatur (-,+,+,+) kehrt es das Vorzeichen der Zeitkomponente um. Der freie Index i muss auf beiden Seiten übereinstimmen, während über j summiert wird. Bei einem vollständigen Tensor senken Sie jeden Index einzeln, T_{ij} = g_{ik} T^k{}_j, und achten auf die Reihenfolge der Stellen. Der für v^\flat verwendete Befehl \flat ist das musikalische Be-Zeichen und steht im normalen Mathematikmodus zur Verfügung.

Minimales kompilierbares Beispiel

Fügen Sie dies in eine leere .tex-Datei ein und kompilieren Sie mit pdfLaTeX, XeLaTeX oder LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\begin{document}
Metric Lowering: $v_i = g_{ij} v^j$

\[ v_i = g_{ij} v^j,\quad v^\flat = v_i\, dx^i \]
\end{document}

Verwandte Symbole

• Indexhebung mit der Metrikv^i = g^{ij} v_j
• KontraktionT^i_i
• Partielle Ableitung\partial_i
• TensorproduktA \otimes B
• Kovariante Ableitung\nabla_i
• Einsteinsche SummenkonventionA^i B_i

Häufige Fragen

Wie schreibe ich Indexsenkung mit der Metrik in LaTeX?

Schreiben Sie v_i = g_{ij} v^j im Mathematikmodus, zum Beispiel $v_i = g_{ij} v^j,\quad v^\flat = v_i\, dx^i$. Es funktioniert in Standard-LaTeX, ohne ein Paket zu laden.

Welches Paket brauche ich für v_i = g_{ij} v^j?

Keines. v_i = g_{ij} v^j gehört zum Standardumfang von LaTeX und kompiliert ohne weitere Angaben in der Präambel außer der Dokumentklasse.

Kann ich v_i = g_{ij} v^j im Textmodus verwenden oder nur im Mathematikmodus?

Nur im Mathematikmodus. Außerhalb von $...$ bricht LaTeX mit "Missing $ inserted" ab, schreiben Sie im Fließtext also $v_i = g_{ij} v^j$.