Indexhebung mit der Metrik in LaTeX (v^i = g^{ij} v_j)

Verwendung

Heben eines Index: Die inverse Metrik verwandelt kovariante Komponenten v_j zurück in kontravariante Komponenten v^i.

Das Heben ist der musikalische Isomorphismus „Kreuz“, \alpha^\sharp, und auf diese Weise entsteht der Gradientenvektor aus dem Differential: (\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\partial_j f. Heben und anschließendes Senken liefert die ursprünglichen Komponenten zurück, weil g^{ij} g_{jk} = \delta^i_k gilt. In der Relativitätstheorie wandelt p^\mu = g^{\mu\nu} p_\nu einen Viererimpuls-Kovektor in einen Vektor um. Schreiben Sie die inverse Metrik mit oberen Indizes, niemals als g^{-1}_{ij}, was eine falsche Indexstellung nahelegt. Der Befehl \sharp liefert das passende Kreuzzeichen, und bei einer diagonalen Metrik bleibt nur der Term mit j = i übrig.

Minimales kompilierbares Beispiel

Fügen Sie dies in eine leere .tex-Datei ein und kompilieren Sie mit pdfLaTeX, XeLaTeX oder LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
Metric Raising: $v^i = g^{ij} v_j$

\[ (\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\, \partial_j f \]
\end{document}

Verwandte Symbole

• Partielle Ableitung\partial_i
• Indexsenkung mit der Metrikv_i = g_{ij} v^j
• Kovariante Ableitung\nabla_i
• KontraktionT^i_i
• SymmetrisierungT_{(ij)}
• TensorproduktA \otimes B

Häufige Fragen

Wie schreibe ich Indexhebung mit der Metrik in LaTeX?

Schreiben Sie v^i = g^{ij} v_j im Mathematikmodus, zum Beispiel $(\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\, \partial_j f$. Es funktioniert in Standard-LaTeX, ohne ein Paket zu laden.

Welches Paket brauche ich für v^i = g^{ij} v_j?

Keines. v^i = g^{ij} v_j gehört zum Standardumfang von LaTeX und kompiliert ohne weitere Angaben in der Präambel außer der Dokumentklasse.

Kann ich v^i = g^{ij} v_j im Textmodus verwenden oder nur im Mathematikmodus?

Nur im Mathematikmodus. Außerhalb von $...$ bricht LaTeX mit "Missing $ inserted" ab, schreiben Sie im Fließtext also $v^i = g^{ij} v_j$.