Nombre de dérangements en LaTeX (D_n)

Où il est utilisé

Nombre de dérangements D_n : nombre de permutations de n éléments dans lesquelles aucun élément ne reste à sa position initiale.

D_n dénombre les permutations sans point fixe et commence par 1, 0, 1, 2, 9, 44, 265. Le principe d’inclusion-exclusion donne D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}, donc D_n est l’entier le plus proche de n!/e et la probabilité qu’une permutation aléatoire soit un dérangement tend vers 1/e. Parmi les récurrences figure D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2}). L’illustration classique est le problème des chapeaux. Le même nombre s’écrit aussi !n, la sous-factorielle ; D_n est plus lisible dans le texte courant. Notez que D_n désigne aussi le groupe diédral en algèbre : précisez si les deux apparaissent.

Exemple minimal compilable

Collez-le dans un fichier .tex vide et compilez avec pdfLaTeX, XeLaTeX ou LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\begin{document}
Derangement: $D_n$

\[ D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} \]
\end{document}

Symboles associés

• Double factoriellen!!
• Nombre de partitionsp(n)
• Sous-factorielle!n
• Nombre de FibonacciF_n
• Symbole de Pochhammer(a)_n
• CycleC_n

Questions fréquentes

Comment écrire Nombre de dérangements en LaTeX ?

Tapez D_n en mode mathématique, par exemple $D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$. La commande fonctionne en LaTeX standard sans charger de paquet.

Quel paquet faut-il pour D_n ?

Aucun. D_n fait partie de LaTeX standard : le préambule n’a besoin que de la classe de document.

Peut-on utiliser D_n en mode texte, ou seulement en mode mathématique ?

Seulement en mode mathématique. Hors de $...$, LaTeX s’arrête avec "Missing $ inserted" : dans le texte, écrivez $D_n$.