Factorielle décroissante en LaTeX ((n)_k)

Où il est utilisé

Factorielle décroissante en notation combinatoire : n(n-1)...(n-k+1), le produit de k facteurs décroissants.

(n)_k dénombre les injections d’un ensemble à k éléments dans un ensemble à n éléments et vaut n!/(n-k)! pour des entiers. Attention : cette notation de type Pochhammer est ambiguë, car pour les fonctions spéciales (a)_n désigne la factorielle croissante. La notation de Knuth, n^{\underline{k}} pour la décroissante et n^{\overline{k}} pour la croissante, lève l’ambiguïté et est utilisée dans Concrete Mathematics ; elle s’écrit avec \underline et \overline dans l’exposant. Les factorielles décroissantes se convertissent en puissances ordinaires grâce aux nombres de Stirling : x^n = \sum_k S(n,k)(x)_k. Définissez explicitement votre notation dans l’article.

Exemple minimal compilable

Collez-le dans un fichier .tex vide et compilez avec pdfLaTeX, XeLaTeX ou LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\begin{document}
Falling Factorial: $(n)_k$

\[ (n)_k = n(n-1)\cdots(n-k+1) = n^{\underline{k}} \]
\end{document}

Symboles associés

• Factorielle croissanten^{(k)}
• Coefficient multinomial\binom{n}{k_1, k_2, \ldots, k_m}
• Nombre de Stirling de première espèce\genfrac{[}{]}{0pt}{}{n}{k}
• Arrangement (nPr)P(n, k)
• Nombre de Stirling de seconde espèce\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{n}{k}
• Combinaison (nCr)C(n, k)

Questions fréquentes

Comment écrire Factorielle décroissante en LaTeX ?

Tapez (n)_k en mode mathématique, par exemple $(n)_k = n(n-1)\cdots(n-k+1) = n^{\underline{k}}$. La commande fonctionne en LaTeX standard sans charger de paquet.

Quel paquet faut-il pour (n)_k ?

Aucun. (n)_k fait partie de LaTeX standard : le préambule n’a besoin que de la classe de document.

Peut-on utiliser (n)_k en mode texte, ou seulement en mode mathématique ?

Seulement en mode mathématique. Hors de $...$, LaTeX s’arrête avec "Missing $ inserted" : dans le texte, écrivez $(n)_k$.