Polynôme de Legendre en LaTeX (P_n(x))

Où il est utilisé

Polynôme de Legendre de degré n, orthogonal sur [-1, 1] pour le poids 1.

Les polynômes de Legendre commencent par P_0 = 1, P_1 = x, P_2 = \frac{1}{2}(3x^2 - 1) et suivent la formule de Rodrigues P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n. L’orthogonalité s’écrit \int_{-1}^1 P_m P_n\,dx = \frac{2}{2n+1}\delta_{mn}. Ils interviennent dans les développements multipolaires, les harmoniques sphériques et les nœuds de la quadrature de Gauss-Legendre. Les fonctions de Legendre associées s’écrivent P_n^m(x) ou P_\ell^m(\cos\theta). Les physiciens notent souvent le degré \ell. Ne les confondez pas avec la chaîne P_n en théorie des graphes ni avec la probabilité P ; l’argument x signale en général le polynôme.

Exemple minimal compilable

Collez-le dans un fichier .tex vide et compilez avec pdfLaTeX, XeLaTeX ou LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\begin{document}
Legendre P: $P_n(x)$

\[ \int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\, dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn} \]
\end{document}

Symboles associés

• Fonction de Legendre de deuxième espèceQ_n(x)
• Fonction de Bessel modifiée de deuxième espèceK_n(x)
• Polynôme d’HermiteH_n(x)
• Fonction de Bessel modifiée de première espèceI_n(x)
• Polynôme de LaguerreL_n(x)
• Fonction de Bessel de deuxième espèceY_n(x)

Questions fréquentes

Comment écrire Polynôme de Legendre en LaTeX ?

Tapez P_n(x) en mode mathématique, par exemple $\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\, dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn}$. La commande fonctionne en LaTeX standard sans charger de paquet.

Quel paquet faut-il pour P_n(x) ?

Aucun. P_n(x) fait partie de LaTeX standard : le préambule n’a besoin que de la classe de document.

Peut-on utiliser P_n(x) en mode texte, ou seulement en mode mathématique ?

Seulement en mode mathématique. Hors de $...$, LaTeX s’arrête avec "Missing $ inserted" : dans le texte, écrivez $P_n(x)$.