Abaixamento de índices pela métrica em LaTeX (v_i = g_{ij} v^j)

Onde é usado

Abaixamento de índices: a métrica converte as componentes contravariantes v^j de um vetor nas componentes covariantes v_i.

Trata-se do isomorfismo musical bemol, muitas vezes escrito v^\flat, que identifica vetores com covetores. No espaço euclidiano com coordenadas cartesianas, g_{ij} = \delta_{ij}, e abaixar o índice não muda nada numericamente; no espaço de Minkowski com assinatura (-,+,+,+), troca o sinal da componente temporal. O índice livre i deve coincidir nos dois lados, enquanto j é somado. Para um tensor completo, abaixe cada índice separadamente, T_{ij} = g_{ik} T^k{}_j, prestando atenção à ordem das posições. O comando \flat usado em v^\flat é o bemol da notação musical, disponível no modo matemático padrão.

Exemplo mínimo compilável

Cole isto em um arquivo .tex vazio e compile com pdfLaTeX, XeLaTeX ou LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\begin{document}
Metric Lowering: $v_i = g_{ij} v^j$

\[ v_i = g_{ij} v^j,\quad v^\flat = v_i\, dx^i \]
\end{document}

Símbolos relacionados

• Levantamento de índices pela métricav^i = g^{ij} v_j
• ContraçãoT^i_i
• Derivada parcial\partial_i
• Produto tensorialA \otimes B
• Derivada covariante\nabla_i
• Convenção de soma de EinsteinA^i B_i

Perguntas frequentes

Como escrever Abaixamento de índices pela métrica em LaTeX?

Digite v_i = g_{ij} v^j no modo matemático, por exemplo $v_i = g_{ij} v^j,\quad v^\flat = v_i\, dx^i$. Funciona no LaTeX padrão sem carregar nenhum pacote.

Qual pacote é necessário para v_i = g_{ij} v^j?

Nenhum. v_i = g_{ij} v^j faz parte do LaTeX padrão, então compila só com a classe do documento no preâmbulo.

Posso usar v_i = g_{ij} v^j no modo texto ou só no modo matemático?

Só no modo matemático. Fora de $...$ o LaTeX para com "Missing $ inserted", então no texto escreva $v_i = g_{ij} v^j$.