Levantamento de índices pela métrica em LaTeX (v^i = g^{ij} v_j)

Onde é usado

Levantamento de índices: a métrica inversa transforma as componentes covariantes v_j de volta nas componentes contravariantes v^i.

O levantamento é o isomorfismo musical sustenido, \alpha^\sharp, e é assim que o vetor gradiente se obtém a partir da diferencial: (\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\partial_j f. Levantar e depois abaixar devolve as componentes originais, porque g^{ij} g_{jk} = \delta^i_k. Em relatividade, p^\mu = g^{\mu\nu} p_\nu converte o covetor quadrimomento num vetor. Escreva a métrica inversa com índices superiores, nunca como g^{-1}_{ij}, que sugere a posição errada dos índices. O comando \sharp dá o sustenido correspondente, e para uma métrica diagonal só sobrevive o termo j = i.

Exemplo mínimo compilável

Cole isto em um arquivo .tex vazio e compile com pdfLaTeX, XeLaTeX ou LuaLaTeX.

\documentclass{article}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
Metric Raising: $v^i = g^{ij} v_j$

\[ (\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\, \partial_j f \]
\end{document}

Símbolos relacionados

• Derivada parcial\partial_i
• Abaixamento de índices pela métricav_i = g_{ij} v^j
• Derivada covariante\nabla_i
• ContraçãoT^i_i
• SimetrizaçãoT_{(ij)}
• Produto tensorialA \otimes B

Perguntas frequentes

Como escrever Levantamento de índices pela métrica em LaTeX?

Digite v^i = g^{ij} v_j no modo matemático, por exemplo $(\operatorname{grad} f)^i = g^{ij}\, \partial_j f$. Funciona no LaTeX padrão sem carregar nenhum pacote.

Qual pacote é necessário para v^i = g^{ij} v_j?

Nenhum. v^i = g^{ij} v_j faz parte do LaTeX padrão, então compila só com a classe do documento no preâmbulo.

Posso usar v^i = g^{ij} v_j no modo texto ou só no modo matemático?

Só no modo matemático. Fora de $...$ o LaTeX para com "Missing $ inserted", então no texto escreva $v^i = g^{ij} v_j$.